Question

（2014?长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-1），且对称轴为直线x=2，点P、Q均

（2014?长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-1），且对称轴为直线x=2，点P、Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称轴左侧，PA垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴于点B，且QB=PA+1，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）；（3）请探究PA+QB=AB是否成立，并说明理由；（4）抛物线y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）经过Q、B、P三点，若其对称轴把四边形PAQB分成面积比为1：5的两部分，直接写出此时m的值．

Answer 1

（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过点（1，-1），且对称轴为在线x=2，
∴

1+b+c＝?1 ? b 2 ＝2

，
解得

b＝?4 c＝2

．
∴这条抛物线所对应的函数关系式y=x²-4x+2；

（2）∵抛物线上点P的横坐标为m，
∴P（m，m²-4m+2），
∴PA=m-2，
QB=PA+1=m-2+1=m-1，
∴点Q的横坐标为2-（m-1）=3-m，
点Q的纵坐标为（3-m）²-4（3-m）+2=m²-2m-1，
∴点Q的坐标为（3-m，m²-2m-1）；

（3）PA+QB=AB成立．
理由如下：∵P（m，m²-4m+2），Q（3-m，m²-2m-1），
∴A（2，m²-4m+2），B（2，m²-2m-1），
∴AB=（m²-2m-1）-（m²-4m+2）=2m-3，
又∵PA=m-2，QB=m-1，
∴PA+QB=m-2+m-1=2m-3，
∴PA+QB=AB；

（4）∵抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0）经过Q、B、P三点，
∴抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁的对称轴为QB的垂直平分线，
∵对称轴把四边形PAQB分成面积为1：5的两部分，
∴

1

2

×

m?1

2

×

2m?3

2

=

1

1+5

×

1

2

（2m-3）×（2m-3），
整理得，（2m-3）（m-3）=0，
∵点P位于对称轴右侧，
∴m＞2，
∴2m-3≠0，
∴m-3=0，
解得m=3．