Question

（2014?义乌市）如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，

（2014?义乌市）如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是______．

Answer 1

∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=8，
∴CG=DG=

1

2

×8=4，
在△DEG和△CFG中，

∠D＝∠DCF＝90° CG＝DG ∠DGE＝∠CGF

，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE=CF，EG=FG，
设DE=x，
则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在Rt△DEG中，EG=

DE2+DG2

=

x2+16

，
∴EF=2

x2+16

，
∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
∴4+2x=2

x2+16

，
解得x=3，
∴AD=AE+DE=4+3=7，
∴BC=AD=7．
故答案为：7．