Question

操作发现将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直

操作发现将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②． （1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．

Answer 1

解；（1）证明：由图①知BC=DE，∴∠BDC=∠BCD。 ∵∠DEF=30°，∴∠BDC=∠BCD=75°。 ∵∠ACB=45°，∴∠DOC=30°+45°=75°。 ∴∠DOC=∠BDC。∴△CDO是等腰三角形。 （2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H， 在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8，∴DH=4 ，HF=4。 在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8，∴DB=8 ，BF=16。 ∴BC=BD=8 。 ∵AG⊥BC，∠ABC=45°，∴BG=AG=4 。∴AG=DH。 ∵AG∥DH，∴四边形AGHD为矩形。 ∴AD=GH=BF﹣BG﹣HF=16﹣4 ﹣4=12﹣4 。

试题分析：（1）根据题意可得BC=DE，进而得到∠BDC=∠BCD，再根据三角形内角和定理计算出度数，然后再根据三角形内角与外角的性质可得∠DOC=∠DBC+∠BCA，进而算出度数，根据角度可得△CDO是等腰三角形；。 （2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，首先根据∠F=60°，DF=8，可以算出DH=4 ，HF=4，DB=8 ，BF=16，进而得到BC=8 ，再根据等腰三角形的性质可得BG=AG=4 ，证明四边形AGHD为矩形，根据线段的和差关系可得AD长。