Question

如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中 . （1）操作发现(4分)如图2，固定△ABC ，

如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中 . （1）操作发现(4分)如图2，固定△ABC ，使△DEC绕点C旋转。当点D恰好落在AB边上时，填空： 线段DE与AC的位置关系是 ；设△BDC的面积为 ，△AEC的面积为 。则 与 的数量关系是 。（2）猜想论证（4分）当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中 与 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC，△AEC中 边上的高，请你证明小明的猜想。

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Answer 1

（1）DE∥AC；S 1 =S 2 ；（2）证明见解析.

试题分析：（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答； ②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC= 12AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答； （2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明． 试题解析：（1）①DE∥BC 理由如下： ∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上， ∴AC=CD， ∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD=60°， 又∵∠CDE=∠BAC=60°， ∴∠ACD=∠CDE， ∴DE∥AC； ②∵∠B=30°，∠C=90°， ∴CD=AC= AB， ∴BD=AD=AC， 根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等， ∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S 1 =S 2 ； （2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到， ∴BC=CE，AC=CD， ∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°， ∴∠ACN=∠DCM， 在△ACN和△DCM中， ， ∴△ACN≌△DCM（AAS）， ∴AN=DM， ∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S 1 =S 2 ． 考点: 1.全等三角形的判定与性质；2.平行线的判定；3.等边三角形的判定与性质．