Question

已知：如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD

已知：如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD．

Answer 1

证明：方法1：在AB上取AE=AC，连接DE，
∵AE=AC，∠1=∠2，且AD=AD，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴ED=CD，∠AED=∠C=2∠B，
又∵∠AED=∠B+∠BDE，
∴∠B=∠BDE，
∴EB=ED，即△BED为等腰三角形．
∴BE=ED=CD，
∴AB=AE+EB=AC+CD．

方法2：延长AC到E，使CE=CD，连接DE．
则∠CDE=∠E
∴∠ACB=∠CDE+∠E=2∠E
∵∠ACB=2∠B
∴∠B=∠E
∵∠1=∠2，AD=AD
∴△ABD≌△AED
∴AB=AE=AC+CD．

Answer 2

在AB上截取AE=AC并连接DE，
因为AE=AC，∠1=∠2，AD=AD，
所以△ADE≌△ADC，
所以DE=DC，∠AED=∠C=2∠B，
因为∠AED=∠B+∠BDE，
所以∠B=∠BDE，
所以BE=DE，
所以BE=DC，
所以AB=AE+BE=AC+DC