Question

已知关于x的方程x2-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有实数根b，若复数z满足|.z?a?bi|＝2|z|，则|z|有最小值为___

已知关于x的方程x2-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有实数根b，若复数z满足|.z?a?bi|＝2|z|，则|z|有最小值为______．

Answer 1

解：∵b是方程x²-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的实根，
∴（b²-6b+9）+（a-b）i=0，
∴

b2?5b+9＝0 a＝b

解之得a=b=3．
（2）设z=x+yi（x，y∈R），由

.

z

?3?3i|=2|z|，
得（x-3）²+（y+3）²=4（x²+y²），
即（x+1）²+（y-1）²=8，
∴z点的轨迹是以O₁（-1，1）为圆心，2

2

为半径的圆，如图所示，
如图，
当z点在OO₁的连线上时，|z|有最大值或最小值，
∵|OO₁|=

2

，
半径r=2

2

，
∴当z=1-i时．
|z|有最小值且|z|_min=

2

．
故答案为：

2

．