Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（不与A、D重合），PE上BP，P为垂

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（不与A、D重合），PE上BP，P为垂足，PE交DC于点E．（1）△ABP和△DPE是否相似？请说明理由；（2）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由；（4）请你探索在点P的运动过程中，△BPE能否构成等腰三角形？如果能．求出AP的长；如果不能，请说明理由．

Answer 1

（1）△ABP∽△DPE．

（2）由（1）△ABP∽△DPE，
∴

AP

DE

＝

AB

PD

∴

x

y

＝

2

5?x

，
∴y=-

1

2

x²+

5

2

x（0＜x＜5）．

（3）能构成矩形．
当DE=AB=2时，∵AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABED为矩形．
由（2）有-

1

2

x²+

5

2

x=2．x₁=1，x₂=4．
∴当AP=1或AP=4时，ABED是矩形．（9分）

（4）能构成等腰三角形．
当AP=DE时，△ABP≌△DPE，此时△BPE为等腰三角形．（1O分）
即-

1

2

x²+

5

2

x=x．解之得x₁=3，x₂=0（舍去）．
即AP=3时，△BPE是等腰三角形（答等腰直角三角形同样正确）．（12分）