设数列{an}满足a1=1，a2=2，an=13(an?1+2an?2)(n∈N*且n≥3)，bn＝1n为奇数?1n为偶数（1）求an；（2）若c
设数列{an}满足a1=1，a2=2，an=13(an?1+2an?2)(n∈N*且n≥3)，bn＝1n为奇数?1n为偶数（1）求an；（2）若cn=nanbn，n∈N*...
设数列{an}满足a1=1，a2=2，an=13(an?1+2an?2)(n∈N*且n≥3)，bn＝1n为奇数?1n为偶数（1）求an；（2）若cn=nanbn，n∈N*，求{cn}的前n项和Sn．
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（1）由an＝
(an?1+2an?2)得，an?an?1＝?
(an?1?an?2)
又a2-a1=1≠0∴
＝?
(n∈N*，n≥3)
∴数列{an+1-an}是首项为1，公比为?
的等比数列…（3分）∴an+1?an＝(?
)n?1
从而，an?an?1＝(?
)n?2an?1?an?2＝(?
)n?3…a2-a1=1
以上各式相加得，an?a1＝1+(?
)+…+(?
)n?2＝
∴an＝
?
(?
)n?1…（6分）
（2）∵bn＝
，且cn=nanbn，n∈N*
∴cn＝
…（8分）
又Sn=c1+c2+…cn∴当n为奇数时，
Sn＝(
?2×
+3×
?4×
+…+n×
)-
[1×(
)0+2×(
)1+3×(
)2+…+n×(
)n?1]
=
(1+n)?
[1×(
)0+2×(
)1+3×(
)2+…+n×(
)n?1]
当n为偶数时，
Sn＝(
?2×
+3×
?4×
+…?n×
)-
[1×(
)0+2×(
)1+3×(
)2+…+n×(
)n?1]
=?
n?
[1×(
)0+2×(
)1+3×(
)2+…+n×(
)n?1]…（10分）
令Tn=1×(
)0+2×(
)1+3×(
)2+…+n×(
)n?1…（1）
Tn=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
又a2-a1=1≠0∴
| an?an?1 |
| an?1?an?2 |
| 2 |
| 3 |
∴数列{an+1-an}是首项为1，公比为?
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
从而，an?an?1＝(?
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
以上各式相加得，an?a1＝1+(?
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
1?(?
| ||
1+
|
∴an＝
| 8 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
（2）∵bn＝
|
∴cn＝
|
又Sn=c1+c2+…cn∴当n为奇数时，
Sn＝(
| 8 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
当n为偶数时，
Sn＝(
| 8 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
=?
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
令Tn=1×(
| 2 |
| 3 |
| 2 |
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| 3 |
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