Question

如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，

如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N。
（1）求证:CM=CN

Answer 1

第一问：证明：由折叠可知，<CMN=<NMCCN//BM
<NMC=<CNM
因，<CMN=<NMC
<NMC=<NMC
在三角形CMN中，<NMC=<NMC
所以CM=CN
第二问：解：过点N作NH⊥BC于点H，
则四边形NHCD是矩形，
∴HC=DN，NH=DC，
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，
∴SCMN/SCDN=1/2MD*DH/(1/2DN*NH)=MD/DN=3，
N
∴MC=3ND=3HC，
∴MH=2HC，
设DN=x，则HC=x，MH=2x，
∴CM=3x=CN，
在Rt△CDN中，DC=√(CN²-DN²)=2√2x,
∴HN=2√2x,

在Rt△MNH中，MN=√MH²+HN²=2√3x,
∴MN/DN=2√3x/x=2√3

Answer 2

1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠CMN=∠CNM，
∴CM=CN；
（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，
则四边形NHCD是矩形，
∴HC=DN，NH=DC，
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，
∴

S△CMNS△CDN=12•MC•NH12•DN•NH=MCND=3，
∴MC=3ND=3HC，
∴MH=2HC，
设DN=x，则HC=x，MH=2x，
∴CM=3x=CN，
在Rt△CDN中，DC=CN2−DN2=22x，
∴HN=22x，
在Rt△MNH中，MN=MH2+HN2=23x，
∴MNDN=23xx=23．

Answer 3

(1)证明：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠CMN=∠CNM，
∴CM=CN；
(2)解：过点N作NH⊥BC于点H，
则四边形NHCD是矩形，
∴HC=DN，NH=DC，
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，
∴===3，
∴MC=3ND=3HC，
∴MH=2HC，
设DN=x，则HC=x，MH=2x，
∴CM=3x=CN，
在Rt△CDN中，DC==2x，
∴HN=2x，
在Rt△MNH中，MN==2x，
∴==2．

Answer 4

证明：由折叠可知，<CMN=<NMC
CN//BM
<NMC=<CNM
因，<CMN=<NMC
<NMC=<NMC
在三角形CMN中，<NMC=<NMC
CM=CN
总结，有平等线和角平分线出现，一定的等腰三角形存在

Answer 5

　　第一问：证明：由折叠可知，<CMN=<NMCCN//BM
<NMC=<CNM
因，<CMN=<NMC
<NMC=<NMC
在三角形CMN中，<NMC=<NMC
所以CM=CN
第二问：解：过点N作NH⊥BC于点H，
则四边形NHCD是矩形，
∴HC=DN，NH=DC，
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，
∴SCMN/SCDN=1/2MD*DH/(1/2DN*NH)=MD/DN=3，
N
∴MC=3ND=3HC，
∴MH=2HC，
设DN=x，则HC=x，MH=2x，
∴CM=3x=CN，
在Rt△CDN中，DC=√(CN²-DN²)=2√2x,
∴HN=2√2x,

在Rt△MNH中，MN=√MH²+HN²=2√3x,
∴MN/DN=2√3x/x=2√3，