Question

设a＞0，0≤x＜2π，若函数y=cos2x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，试求a与b的值，并求使y取得最大值和

设a＞0，0≤x＜2π，若函数y=cos2x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，试求a与b的值，并求使y取得最大值和最小值时的x值．

Answer 1

f（x）=y=cos²x-asinx+b=-sin²x-asinx+b+1=-(sinx+

a

2

)2+

a2

4

+b+1
因为a＞0所以-

a

2

＜0，
（ⅰ）当?1≤?

a

2

＜0，即0＜a≤2时y_max=f(?

a

2

)=

a2

4

+b+1=0①y_min=f（1）=b-a=-4②
由①②解得

a＝2 b＝?2

或

a＝?6 b＝?10

（舍去）
（ⅱ）当-

a

2

＜?1，即a＞2时y_max=f（-1）=a+b=0③y_min=f（1）=b-a=-4④
由③④解得

a＝2 b＝?2

（舍去）
综上，

a＝2 b＝?2

∴f（x）=cos²x-2sinx-2=-（sinx+1）²
当x＝

π

2

时，y取得最小值；当x＝

3π

2

时，y取得最大值