Question

求函数y=cos2x+2sinx的值域

Answer 1

y=cos2x+2sinx
=1-2sin²x+2sinx
=-2sin²x+2sinx+1
=-2（sin²x-sinx）+1
=-2（sin²x-sinx+1/4）+1/2+1
=-2（sinx-1/2）²+3/2
函数开口朝下，对称轴为sinx=1/2
所以当sinx=1/2时，函数有最大值3/2
因为-1≤sinx≤1
所以当sinx=-1时，函数有最小值，最小值为y=-2×（-1-1/2）²+3/2=-9/2+3/2=-3
所以函数的值域为y∈【-3，3/2】

本题所用知识点：
（1）cos2x=1-2sin²x
（2）二次函数一般式转化为顶点式：
如y=ax²+bx+c转化为y=a（x-k）²+b的形式
举例：
y=-2x²+4x+1
=-2（x²-2x）+1
=-2（x²-2x+1）+2+1
=-2（x-1）²+3
顶点坐标为（1,3）
（3）

Answer 2

y=cos2x+2sinx
=1-2sin平方x+2sinx
=-2(sinx-1/2)平方+3/2

-3/2≤sinx-1/2≤1/2

-9/2≤-2(sinx-1/2)平方≤0

-3≤-2(sinx-1/2)平方+3/2≤3/2
值域[-3,3/2]

Answer 3