Question

定积分在物理学中的应用

Answer 1

§6-3 定积分在物理学中的应用（一）引言定积分的应用十分广泛，自然科学、工程技术中的许多问题都可以使用定积分来求解。下面我们来讨论一些物理方面的实例，旨在加强我们运用微元法解决一些物理学中的一些实际问题。问题一 变力作功由物理学可知，在常力F的作用下，物体沿力的方向作直线运动，当物体移动一段距离s时，力F所作的功为但在实际问题中，物体在运动过程中所受到的力是变化的，这就是我们下面要讨论的变力作功问题。【例1】把一个带 电量的点电荷放在 轴上坐标原点 处，它产生一个电场.这个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 为 的地方，那么电场对它的作用力的大小为（ 为常数） 当这个单位正电荷在电场中从 处沿 轴移动到 处时，计算电场力 对它所作的力。解：（1）取积分变量为 ，积分区间为 ；（2）在区间 上任取一小区间 ，与它相应的电场力 所作的功近似于把 作为常力所作的功，从而得到功微元 = ；（3）所求的电场力 所作的功为通过复习已经掌握的有关力学方面的概念和微元法，并对变力作功问题进行分析，将变力作功的过程进行无限细分为若干个子过程，把每一个子过程近似看作常力作功，从而求出功微元。通过学习使学生能够用微元法，分析解决实际问题和灵活运用这一数学模型。主 要 内 容教 学 设 计= = = 一般地，若变力 将某一物体沿力的方向从 移到 处，则变力 所作的功为. （6-6）下面再举一个计算功的例子，它虽不是一个变力作功问题，但它通过定积分的微元法，先求功微元，再求定积分，并给出了一个解决此类问题的数学模型。注意1：本方法的实质就是将变力的作功过程进行无限细分为若干个子过程，再将分割的每一子过程的变力作功近似看成常力作功问题来求解，并取任意一子过程变力所作的功为所求的功微元。【例2】修建一座大桥的桥墩时先要下围囹，并抽尽其中的水以便施工，已知半径是10米的圆柱形围囹上沿高出水面2米，河水深18米，问抽尽围囹内的水作多少功？解：以围囹上沿的圆心为原点，向下的方向为 轴的正向，建立坐标系.（1） 取水深 为积分变量，它的变化区间为 ；（2） 相应于 上任一小区间 的一薄层水的高度为 ，水的密度为 牛顿/米3，这薄层水的重力为 （其中 是薄水的底面积）.把这薄层水抽出围囹外时，需要提升的距离近似为 ，因此需作的功近似为（3） 即所求功微元。在 上求定积分，就得到所求的功为= （焦耳）注意2：为什么该问题的定积分积分区间取作[2，20]，而不取作[0，20]？