Question

什么叫线性相关，什么叫线性无关

多举几个例子

Answer 1

Answer 2

在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立(linearly independent)，反之称为线性相关（linearly dependent)。

例如在三维欧几里得空间R的三个矢量（1, 0, 0)，（0, 1, 0)和（0, 0, 1)线性无关；但（2,−1, 1)，（1, 0, 1)和（3,−1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。

线性相关性质：

1、向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。

2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。

4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

5、n+1个n维向量总是线性相关。（个数大于维数必相关）

Answer 3

定义: 给定向量组A: 1, 2, ···, m , 如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使k1 1 + k2 2 + ··· + km m = O则称向量组A是线性相关的, 否则称它是线性无关.注意1: 对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的.注意2: 若 1, 2, ···, m线性无关, 则只有当 1= 2 = ··· = m=0时, 才有 1 1 + 2 2 + ··· + m m = O成立.注意3: 向量组只包含一个向量 时,若 =O则说 线性相关; 若 O, 则说 线性无关.注意4: 包含零向量的任何向量组是线性相关的.

线性相关，就是在一组数据中有一个或者多个量可以被其余量表示。线性无关，就是在一组数据中没有一个量可以被其余量表示。从维数空间上讲，例如，一个三维空间，那么必须用三个线性无关的向量来表示，如果在加上另外一个向量，那么这个向量必然可以由上述三个向量唯一的线性表出。在三维空间里，互相垂直的三个坐标轴就是一组最简单的现行无关的向量。并且是三维空间上的极大无关组。其实，只要是不在同一平面的三个互不平行的向量都可以组成三维空间上的极大无关组。那也就是线性无关的。至于如何理解线性相关和现行无关，其实很简单，举个线性空间上的例子，只要考察这一组向量是否能构成对应维数的线性空间上的极大无关组，也就是说这个维数空间上是否是所有的量都可以通过这组向量表示出。再比如，对一个三维空间，如果有三个向量，并且都在同一平面内，那么这三个向量无法表示出整个三维空间里的所有向量，因为这三个向量是线性相关的。

Answer 4

比如有三个数a，b，c
如果存在不全为0的三个数m，n，k
使得ma+nb+kc=0
就说a，b，c线性相关 否则若只有当m=n=k=0时成立，则它们线性无关
其实a，b，c代表的东西很多，不一定就是数字，也可以是向量啊，等等
数量也不一定是三个，在这只是举个例子，也可以是无限多个

Answer 5

线性相关/无关的定义在书上都写得很清楚，这里大概描述一下并谈谈一些想法。
相关，就是在一组数据中有一个或者多个量可以被其余量表示。
无关，就是在一组数据中没有一个量可以被其余量表示。