Question

已知函数f（x）=ax 3 +bx+c在点x=2处取得极值c-16。（1）求a，b的值；（2）若f（x）有极大值28

已知函数f（x）=ax 3 +bx+c在点x=2处取得极值c-16。（1）求a，b的值；（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[-3，3]上的最小值。

Answer 1

解：（1）由题f（x）=ax 3 +bx+c，可得f′（x）=3ax 2 +b， 又函数在点x=2处取得极值c-16 ∴ ，即 ， 化简得 解得a=1，b=-12。 （2）由（1）知f（x）=x 3 -12x+c，f′（x）=3x 2 -12=3（x+2）（x-2） 令f′（x）=3x 2 -12=3（x+2）（x-2）=0， 解得x 1 =-2，x 2 =2 当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，故f（x）在∈（-∞，-2）上为增函数； 当x∈（-2，2）时，f′（x）＜0，故f（x）在（-2，2）上为减函数； 当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数； 由此可知f（x）在x 1 =-2处取得极大值f（-2）=16+c，f（x）在x 2 =2处取得极小值f（2）=c-16， 由题设条件知16+c=28得，c=12 此时f（-3）=9+c=21，f（3）=-9+c=3，f（2）=-16+c=-4 因此f（x）在[-3，3]上的最小值f（2）=-4。