（2014?大庆）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求
（2014?大庆）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的...
（2014?大庆）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．
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（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD；
（2）∵∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
∵BD=BC，
∴AD=BD=BC=1，
设CD=x，则有AB=AC=x+1，
∵△ABC∽△BCD，
∴
=
，即
=
，
整理得：x2+x-1=0，
解得：x1=
，x2=
（负值，舍去），
则x=
；
（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，
∵BD=BC，
∴E为CD中点，即DE=CE=
，
在Rt△ABE中，cosA=cos36°=
=
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD；
（2）∵∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
∵BD=BC，
∴AD=BD=BC=1，
设CD=x，则有AB=AC=x+1，
∵△ABC∽△BCD，
∴
| AB |
| BD |
| BC |
| CD |
| x+1 |
| 1 |
| 1 |
| x |
整理得：x2+x-1=0，
解得：x1=
?1+
| ||
| 2 |
?1?
| ||
| 2 |
则x=
?1+
| ||
| 2 |
（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，
∵BD=BC，
∴E为CD中点，即DE=CE=
?1+
| ||
| 4 |
在Rt△ABE中，cosA=cos36°=
| AE |
| AB |
1+
| ||||
|
