Question

已知如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交CM于点E，BM交CN于点F，求证：（1）CE=C

已知如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交CM于点E，BM交CN于点F，求证：（1）CE=CF；（2）EF∥AB．

Answer 1

证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，
即：∠ACN=∠MCB，
在△CAN和△MCB中，
AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，
∴△CAN≌△MCB（SAS），
∴∠CMB=∠CAN
又∵∠ACM=∠MCN=60°，AC=NC
∴△ACE≌△MCF
∴CE=CF．

（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN=∠CMB，
又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠MCF=∠ACE，
在△CAE和△CMF中，

∠CAE＝∠CMF CA＝CM ∠ACE＝∠MCF

∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE=CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形．
∴∠CEF=∠MCA=60°
∴EF∥AB