Question

已知数列{an}是等比数列，其前n项的和为Sn，a1+2a2=0，S4-S2=18（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{

已知数列{an}是等比数列，其前n项的和为Sn，a1+2a2=0，S4-S2=18（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{anSn}的前n项的和；（3）求使不等式 an≥116成立的n的集合．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}公比是q，
∵a₁+2a₂=0，∴q＝

a2

a1

=?

1

2

．
∵S₄-S₂=

1

8

，
∴

a1[1?(? 1 2 )4]

1?(? 1 2 )

?a1(1?

1

2

)＝

1

8

，解得a₁=1．
∴an＝a1qn?1＝1×(?

1

2

)n?1=(?

1

2

)n?1．
（2）由（1）可得Sn＝

1?(? 1 2 )n

1?(? 1 2 )

=

2

3

[1?(?

1

2

)n]，
∴a_nS_n=

2

3

[(?

1

2

)n?1?(?

1

2

)2n?1]．
∴数列{a_nS_n}的前n项的和=a₁S₁+a₂S₂+…+a_nS_n
=

2

3

[

1?(? 1 2 )n

1?(? 1 2 )

?

? 1 2 (?(? 1 2 )2n)

1?(? 1 2 )2

]=

8

9

?

4

9

(?

1

2

)n