Question

如图所示，用长为L的细绳悬挂一质量为m的小球，再把小球拉到A点，使悬线与水平方向成30°夹角，然后松手

如图所示，用长为L的细绳悬挂一质量为m的小球，再把小球拉到A点，使悬线与水平方向成30°夹角，然后松手．问：（1）小球运动到悬点正下方B点时悬线对球的拉力多大？（2）若细绳承受的最大拉力是9mg，在悬点O正下方线OB上钉铁钉D，小球能绕铁钉在竖直面内做圆周运动，求铁钉位置在OB线上的范围．不计线与铁钉碰撞时的能量损失．

Answer 1

解答：解：在A点松手后，绳子为松弛状态，所以小球在重力作用下做自由落体运动，当小球落到A点的正下方C点，OC=L时绳又被拉紧，此时由于绳子的冲量作用，使小球沿绳方向的速度分量υ₂减小为0，小球将以L为半径、υ₁为初速度从C开始做圆周运动，如图．因此，从A点到B点的过程中有机械能损失，机械能不守恒．当小球从C点运动到B点的过程中，机械能守恒．本题应先求出小球在C点时的切向速度υ₁，再对CB段运用机械能守恒定律求出υ，最后求绳中张力T．
小球从A点到C点做自由落体运动，下落高度为L，则：υ_C=

2gL

．
其切向分量为：υ₁=υ_Ccos30°=

6gL

2

小球从C点到B点过程中，由机械能守恒定律有：
mgL（1-sin30°）=

1

2

mvB2?

1

2

mv12
将υ₁代入解得：vB2＝

5

2

gL
对B点由向心力公式得：T-mg=m

vB2

L

解得：T＝mg+m

vB2

L

＝

7

2

mg．
（2）小球到达B点后绕D点做圆周运动，设DB之间的距离为r，则
小球能做做圆周运动，则在最高点的速度v≥

gr

对B点，根据向心力公式得：
T′-mg=m

vB2

r

当T′=9mg时，r取最小值，则r_min=

5

16

L，
从B点到最高点的过程中，根据动能定理得：

1

2

mv2?

1

2

mvB2＝?mg?2r
小球能做做圆周运动，则在最高点的速度v≥

gr

解得：r_max=

1

2

L
所以铁钉位置在OB线上的范围为，距离B的距离为

5

16

L≤r≤

1

2

L
答：（1）小球运动到悬点正下方B点时悬线对球的拉力为

7

2

mg；
（2）铁钉位置在OB线上的范围为，距离B的距离为

5

16

L≤r≤

1

2

L．