Question

已知函数f(x)＝13x3+12ax2+ax?2(a∈R)（1）若函数f（x）在区间（-∞，+∞）上为单调函数，求实数a的取值

已知函数f(x)＝13x3+12ax2+ax?2(a∈R)（1）若函数f（x）在区间（-∞，+∞）上为单调函数，求实数a的取值范围；（2）设A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2））是函数f（x）的两个极值点，若直线AB的斜率不小于?56，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）求导函数可得f′（x）=x²+ax+a
∵函数f（x）在区间（-∞，+∞）上为单调函数，
∴△=a²-4a≤0
∴0≤a≤4；
（2）直线AB的斜率=

f(x2)?f(x1)

x2?x1

=

1 3 x23+ 1 2 ax22+ax2?2?( 1 3 x13+ 1 2 ax12+ax1?2)

x2?x1

=

1

3

[（x₁+x₂）²-x₁x₂]+

1

2

a（x₁+x₂）+a≥?

5

6

∵x₁+x₂=-a，x₁x₂=a
∴

1

3

（a²-a）-

1

2

a²+a≥?

5

6

∴-1≤a≤5