Question

判断下列级数的敛散性

最好能有解题过程。重点是（6）。有重赏哦！要快点！
还有几题，多谢！一定有回报！

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Answer 1

作为准备工作, 先列几个基本极限.
①lim{x → 0} ln(1+x)/x = 1.
②lim{x → 0} (a^x-1)/x = ln(a) (a > 0).
③lim{x → 0} (1-cos(x))/x² = 1/2.
④lim{x → 0} arctan(x)/x = 1.
⑤lim{x → +∞} ln(x)/x^α = 0 (α > 0).
都是很基本的极限, 也可用L'Hosptial法则证明.

这里的题目都可以用比较判别法.
(1) ln(n)/n > 1/n.
由(调和级数)∑1/n发散知级数发散.

(2) 由⑤, ln(n)/n²是1/n^(3/2)的高阶无穷小(α = 1/2).
由(p-级数)∑1/n^(3/2)收敛知级数收敛.

(3) ln²(n+1)/√(n(n²+1)) < ln²(n+1)/n^(3/2).
仍由⑤, ln²(n+1)/n^(3/2)是1/n^(4/3)的高阶无穷小(α = 1/12).
由(p-级数)∑1/n^(4/3)收敛知级数收敛.

(4) 由⑤, n^(1/10)是ln(n)的高阶无穷大(α = 1/10), 于是1/n是1/ln(n)^10的高阶无穷小.
由∑1/n发散知级数发散.

(5) 1/n·ln((n+1)/(n-1)) = 1/n·ln(1+2/(n-1)).
由①, ln(1+2/(n-1))与2/(n-1)是等价无穷小, 进而与2/n等价.
于是1/n·ln((n+1)/(n-1))与1/n²是同阶无穷小.
由(p-级数)∑1/n²收敛知级数收敛.

(6) 由①, ln(1+1/n²)与1/n²是等价无穷小.
由∑1/n²收敛知级数收敛.

(7) 0 ≤ (1+sin(nα))/n² ≤ 2/n².
由∑1/n²收敛知级数收敛.

(8) 由②, 2^(1/n)-1与1/n是同阶无穷小.
由∑1/n发散知级数发散.

(9) 由③, 1-cos(2/n)与1/n²是同阶无穷小.
由∑1/n²收敛知级数收敛.

(10) 对q ≥ 1, arctan(q^n) ≥ arctan(1) = π/4.
级数通项不收敛到0, 级数发散.
对0 < q < 1, q^n → 0.
在此条件下, 由④, arctan(q^n)与q^n是等价无穷小.
由∑q^n收敛知级数收敛.