Question

初三数学题，求大神帮忙求解！！！（做过两遍了，可是再做第三问还是不会啊，！！）

直线y=2x+2与y轴交于点A，与反比例函数y=k/x(x＞0）的图像交于点M，过点M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2.
(1)求k的值
(2)点N(a,1)是反比例函数y=k/x(x＞0）图像上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）点B为反比例函数图像上的点，且满足S△AMB=S△AMN,写出满足条件的B点坐标。（第三问一定要写步骤啊！！！）
第三问应该是S△AMB=S△AMH。

Answer 1

解：

(1)因OA=2，tan∠AHO=2=OA/OH
则 OH=1，将x=1带入直线y=2x+2：
y=2×1+2=4，得到M(1, 4)
所以 k=xy=1×4=4

(2)当y=1时，x=4/1=4
故 N(4,1)，作N关于x轴的对称点N'(4,-1)
连接MN’，交x轴于P，则P即为所求点。
易知P(17/3,0)

(3)因S△AMN大小确定，满足S△AMB=S△AMN的点B
不可能出现在AM的右侧（因该位置已经有N点），
而只会出现在AM的左侧，设其坐标是(s, 4/s)
考虑到以上2个三角形有公共底边AM，
要保证二者面积相等，根据同底同高等面积，
只要保证B到直线AM的距离与N到AM的距离相等即可。
N(4,1)到直线AM2x-y+2=0的距离d=9/√5
则 B(s, 4/s)到直线AM：2x-y+2=0的距离：
d1=d=9/√5=绝对值【2s -(4/s)+2】/√5
即 9=绝对值【2s-(4/s)+2】
即 2s-(4/s)=7或-11
解得 s=1/2或-4或(-11+3√11)/4或(-11-3√11)/4
经检验，只要s=1/2符合
所以 点B坐标是(1/2, 8)

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追问

对不起哦，第三问应该是S△AMB=S△AMH，不好意思，，，

追答

(3)H到直线AM的距离是
d1=(2+2)/√5=4/√5

设B(s, 4/s), 其中s>0
B到AM的距离d2是：
d2^2=[2s-(4/s)+2]^2 /5
根据 d1^2 =d2^2得到方程：
16/5=[2s-(4/s)+2]^2 /5
即 2s-(4/s)+2=4或-4
解得 s=2或-1或(-3+√17)/2或(-3-√17)/2

经检验，只有s=2或(√17-3)/2符合要求

此时，B的坐标是(2, 2)或( (√17-3)/2,3+√17)

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