Question

设函数 f(x)=lg( 2 x+1 -1) 的定义域为集合A，函数 g(x)= 1-|x+a| 的定义域为集合

设函数 f(x)=lg( 2 x+1 -1) 的定义域为集合A，函数 g(x)= 1-|x+a| 的定义域为集合B．（1）判定函数f（x）的奇偶性，并说明理由．（2）问：a≥2是A∩B=?的什么条件（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．

Answer 1

（1）A={x| 2 x+1 -1＞0 ? 2 x+1 -1＞0 ? x-1 x+1 ＜0 ?（x+1）（x-1）＜0，∴-1＜x＜1 ∴A=（-1，1），定义域关于原点对称 f（-x）=lg 1+x -x+1 =lg ( 1-x 1+x ) -1 =-lg 1-x 1+x =-f（x），∴f（x）是奇函数． （2）B={x|1-|x+a|≥0} |x+a|≤1?-1≤x+a≤1?-1-a≤x≤1-a， B=[-1-a，1-a] 当a≥2时，-1-a≤-3，1-a≤-1， 由A=（-1，1），B=[-1-a，1-a]，A∩B=?， 反之，若A∩B=?，可取-a-1=2，则a=-3，a小于2．（注：反例不唯一） 所以，a≥2是A∩B=?，的充分非必要条件．