Question

如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关

如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON． （1）求该二次函数的关系式；（2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积；（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①证明：∠ANM＝∠ONM；②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

（1） （2）12 （3）相似三角形的基本知识推出该角度的相等，不能

试题分析：（1）∵二次函数图象的顶点为P（4，－4），∴设二次函数的关系式为 。 又∵二次函数图象经过原点（0，0），∴ ，解得 。 ∴二次函数的关系式为 ，即 。（2分） （2）设直线OA的解析式为 ，将A（6，－3）代入得 ，解得 。 ∴直线OA的解析式为 。 把x=4代入 得y=-2。∴M（4，－2）。 又∵点M、N关于点P对称，∴N（4，－6），MN=4。 ∴ 。（3分） （3）①证明：过点A作AH⊥ 于点H，， 与x轴交于点D。则 设A（ ）, 则直线OA的解析式为 。 则M（ ），N（ ），H（ ）。 ∴OD=4，ND= ，HA= ，NH= 。 ∴ 。 ∴ 。∴∠ANM=∠ONM。（2分） ②不能。理由如下：分三种情况讨论： 情况1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=45 0 ， ∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即 。 整理，得 ，解得 。 ∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。 情况2，若∠AON是直角，则 。 ∵  ， ∴ 。 整理，得 ，解得 ， 。 ∴此时，故点A与原点或与点P重合。故此时不存在点A，使∠AON是直角。 情况3，若∠NAO是直角，则△AMN∽△DMO∽△DON，∴ 。 ∵OD=4，MD= ，ND= ，∴ 。 整理，得 ，解得 。 ∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。 综上所述，当点A在对称轴 右侧的二次函数图象上运动时，△ANO不能成为直角三角形。（3分） 点评：在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键．