Question

如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45° （1）求证：AG=FG;（2）延

如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45° （1）求证：AG=FG;（2）延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长.





Answer 1

（1）通过证明AG="BH" ，BH=HF+GH=FG，则AG=FG （2）

试题分析：（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点 ∵∠CFB=45° ∴CH=HF ∵∠ABG+∠BAG=90°，   ∠FBE+∠ABG=90° ∴∠BAG=∠FBE ∵AG⊥BF     CH⊥BF ∴∠AGB=∠BHC=90° 在△AGB和△BHC中 ∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，  AB=BC ∴△AGB≌△BHC ∴AG=BH，  BG=CH ∵BH=BG+GH ∴BH=HF+GH=FG ∴AG=FG (2) ∵CH⊥GF∴CH∥GM∵C为FM的中点 ∴CH= GM∴BG= GM∵BM=10 ∴BG= ，  GM= （1分）∴AG=    AB=10 ∴HF=    ∴CF= × ∴CM= 过B点作BK⊥CM于K ∵CK= = ，  ∴BK= 过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q ∴△BKC≌△CQD ∴CQ=BK= DQ=CK= ∴QF= － = ∴DF= = 点评：本题考查三角形和正方形的知识，解本题的关键是熟练掌握三角形和正方形的一些性质，此题难度较大