Question

求微分方程y″+y′-2y=xex+sin2x的通解

求微分方程y″+y′-2y=xex+sin2x的通解．

Answer 1

由于特征方程为λ²+λ-2=0，解得特征根为λ₁=-2，λ₂=1，
∴y″+y′-2y=0的通解为y=C₁e^-2x+C₂e^x．
设y″+y′-2y=xe^x （*）
y″+y′-2y=sin²x （**）
由于（*）的f（x）=xe^x，λ=1是特征根，故令（*）的特解为y₁（x）=（ax²+bx）e^x，
代入（*）得a＝

1

6

，b＝?

1

9

，
由y″+y′-2y=sin²x得
y″+y′?2y＝

1

2

(1?cos2x)，
显然y″+y′?2y＝

1

2

，有特解y＝?

1

4

，
对y″+y′?2y＝?

1

2

cos2x，由于f(x)＝?

1

2

cos2x，故
令其特解为y₂（x）=Acos2x+Bsin2x，代入得A＝

3

40

，B＝?

1

40

，则
y2(x)＝?

1

4

+

3

40

cos2x?

1

40

sin2x，所以原方程的通解为
y＝C1e?2x+C2ex+(

1

6

x2?

x

9

)ex+(?

1

4

+

3

40

cos2x?

1

40

sin2x)