Question

解向量的秩为什么是n-r?

Answer 1

根据秩-零定理，Ax=0的解空间维数是n-r(A)维。

或通过行初等变换把A化成行阶梯型。

x1a1+x2a2+……+xrar+x(r+1)a(r+1)+……+xnan=0。

那接下来便是设定a1,a2,……,ar是极大无关向量组，则。

x1a1+x2a2+……+xrar=-x(r+1)a(r+1)-……-xnan。

则若x(r+1),x(r+2),……,xn确定后，左边x1,x2,……,xr也确定了。

所以这个x维数就是n-r。

基本原理：

解向量是线性方程组的一个解。因为一组解在空间几何里可以表示为一个向量回，所以叫答做解向量。解向量在矩阵和线性方程组中是常用概念。

如果n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩R(A)=r<n，则解空间S的基础解系存在，且每个基础解系恰有n-r个解向量。

因为一组解在空间几何里可以表示为一个向量，所以叫做解向量。解向量在矩阵和线性方程组中是常用概念。

向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。