Question

如图，三棱柱ABC-A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A=AB=6，D为AC中点．（Ⅰ）求三棱锥C1-BCD

如图，三棱柱ABC-A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A=AB=6，D为AC中点．（Ⅰ）求三棱锥C1-BCD的体积；（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）求证：直线AB1∥平面BC1D．

Answer 1

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵△ABC为正三角形，D为AC中点，
∴BD⊥AC，
由AB=6可知，CD＝3，BD＝3

3

，
∴S△BCD＝

1

2

?CD?BD＝

9 3

2

．
又∵A₁A⊥底面ABC，且A₁A=AB=6，
∴C₁C⊥底面ABC，且C₁C=6，
∴VC1?BCD＝

1

3

?S△BCD?C1C＝9

3

．                           …（4分）
（Ⅱ）∵A₁A⊥底面ABC，
∴A₁A⊥BD．
又BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
又BD?平面BC₁D，
∴平面BC₁D⊥平面ACC₁A₁．                                  …（8分）
（Ⅲ）连接B₁C交BC₁于O，连接OD，
在△B₁AC中，D为AC中点，O为B₁C中点，
所以OD∥AB₁，
又OD?平面BC₁D，
∴直线AB₁∥平面BC₁D．                                   …（12分）