Question

设a,b,c是三角形的三边长,求证:a/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c)≥3

Answer 1

证明：∵a,b,c是三角形的三边长c(a-b)^2+b(a-c)^2+a(b-c)^2≥0
c(a^2+b^2-2ab)+b(a^2+c^2-2ac)+a(c^2+b^2-2bc)≥0
ca^2+cb^2+ab^2+ac^2+ba^2+bc^2-6abc≥0
bbc+cbc-abc+cac+aac-abc+aab+bab-abc≥3abc
两边同时除以abc
∴(b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c>3

追问

最后的分子分母 是不是倒了。？

追答

∵a,b,c是三角形的三边,
∴a＞0,b＞0,c＞0,且a+b-c＞0,b+c-a＞0,c+a-b＞0,
根据不等式:x+y≥2*(根号x*y),(x＞0,y＞0)可得:
(c+a-b)/(b+c-a) + (b+c-a)/(c+a-b) ≥2 ①
(a+b-c)/(c+a-b) +(c+a-b)/(a+b-c)≥2 ②
(a+b-c)/(b+c-a) +(b+c-a)/(a+b-c)≥2 ③
①式+②式+③式,得:
2*a/(b+c-a)+2*b/(c+a-b)+2*c/(a+b-c)≥6,
即a/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c)≥3 ,得证