Question

设a，b，c是三角形的三边长求证:a/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c)≥3

Answer 1

证明：
利用三角形的性质，
两边之和大于第三边
∴ 设 b+c-a=A>0 ①
c+a-b=B>0 ②
a+b-c=C>0 ③
∴ ①+② 2c=A+B
②+③ 2a=B+C
①+③ 2b=A+C
∴ 2*[a/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c)]
=2a/(b+c-a)+2b/(c+a-b)+2c/(a+b-c)
=(B+C)/A+(A+C)/B+(A+B)/C
=B/A+C/A+A/B+C/B+A/C+B/C
=(B/A+A/B)+(C/A+A/C)+(C/B+B/C)
≥ 2 + 2 + 2 (基本不等式)
=6
∴ a/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c)≥3

追问

=(B/A+A/B)+(C/A+A/C)+(C/B+B/C)
≥ 2 + 2 + 2 (基本不等式)
=6怎么来的

追答

B/A+A/B≥2√(B/A *A/B)=2
C/A+A/C≥2√(C/A*A/C)=2
C/B+B/C≥2√(C/B* B/C)=2

相加，即得(B/A+A/B)+(C/A+A/C)+(C/B+B/C)≥2+2+2=6

追问

我们没学过(基本不等式)

这是我们班主任让我一个同学的老爸出的，她老爸可是大学数学老师

可惜我不知他那所大学

追答

那可以这样
B/A+A/B
=[√(B/A)]²-2*√(B/A)*√(A/B)+[√(A/B)]²+2*√(B/A)*√(A/B)
=[√(B/A)-√(A/B)]²+2
≥2
其他同理可以证明。

追问

*这是什么意思

追答

“*” 相当于“ ×”

Answer 2

百度知道：

①设x=(b+c-a),y=(a+c-b),z=(a+b-c)
则a=(y+z)/2,b=(x+z)/2,c=(x+y)/2
原不等式左边变为
(y+z)/2x+(x+z)/2y+(x+y)/2z
=(1/2)[(y/x+x/y)+(z/x+x/z)+(z/y+y/z)]
≥(1/2)(2+2+2)=3
证得原不等式

②
证明：∵a,b,c是三角形的三边长c(a-b)^2+b(a-c)^2+a(b-c)^2≥0
c(a^2+b^2-2ab)+b(a^2+c^2-2ac)+a(c^2+b^2-2bc)≥0
ca^2+cb^2+ab^2+ac^2+ba^2+bc^2-6abc≥0
bbc+cbc-abc+cac+aac-abc+aab+bab-abc≥3abc
两边同时除以abc
∴(b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c>3

追问

我看不懂

但还是谢谢了

Answer 3

证明：∵a,b,c是三角形的三边长c(a-b)^2+b(a-c)^2+a(b-c)^2≥0
c(a^2+b^2-2ab)+b(a^2+c^2-2ac)+a(c^2+b^2-2bc)≥0
ca^2+cb^2+ab^2+ac^2+ba^2+bc^2-6abc≥0
bbc+cbc-abc+cac+aac-abc+aab+bab-abc≥3abc
两边同时除以abc
∴(b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c>3