Question

证明：与任意n阶方阵都乘法可交换的方阵一定是数量矩阵。

Answer 1

证: 设 A=(aij) 与任意的n阶矩阵可交换, 则A必是n阶方阵.

设Eij是第i行第j列位置为1,其余都是0的n阶方阵.
则EijA = AEij
EijA 是 第i行为 aj1,aj2,...,ajn, 其余行都是0的方阵
AEij 是 第j列为 a1i,a2i,...,ani, 其余列都是0的方阵
所以当i≠j时, aij=0.
所以A是一个对角矩阵.

设E(i,j)是对换i,j两行的初等矩阵.
由E(i,j)A=AE(i,j)可得
aii=ajj

所以A是主对角线元素相同的对角矩阵, 即数量矩阵.

Answer 2

写起来很麻烦。这是个充要条件。设n阶方阵为A=（aij)，设B=（bij)与A可交换，AB=BA,展开比较就行，会发现B的非主对角元全是0，主对角元是同样的数

Answer 3

首先明确一下，楼上的方法是正解。
当然技术上可以稍加改进：
令E(i,j)为(i,j)元等于1，其它元素等于0的矩阵，比较一下E(i,j)B=BE(i,j)就可以得到B的一个必要条件，取遍i,j即得结论。