Question

求函数f(x)=arctan(x^2)关于x的幂级数展开式

Answer 1

利用已知幂级数

1/(1+x) = Σ(n=0~∞)[(-1)^n](x^n)，-1<x<1。

这样，

1/(1+x^2) = Σ(n=0~∞)[(-1)^n](x^2n)，-1<x<1。

arctanx = ∫[0,x][1/(1+t^2)]dt

= Σ(n=0~∞) ∫[0,x][(-1)^n](t^2n)dt

= Σ(n=0~∞)[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1)，-1<x<1。

则函数

f(x) = arctan(x^2)

= Σ(n=0~∞)[(-1)^n][x^2(2n+1)]/(2n+1)，-1<x<1。

简介

幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

Answer 2

利用已知幂级数
1/(1+x) = Σ(n=0~∞)[(-1)^n](x^n)，-1<x<1。
这样，
1/(1+x^2) = Σ(n=0~∞)[(-1)^n](x^2n)，-1<x<1。
arctanx = ∫[0,x][1/(1+t^2)]dt
= Σ(n=0~∞) ∫[0,x][(-1)^n](t^2n)dt
= Σ(n=0~∞)[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1)，-1<x<1。
则函数
f(x) = arctan(x^2)
= Σ(n=0~∞)[(-1)^n][x^2(2n+1)]/(2n+1)，-1<x<1。