Question

几何证明，怎样证明这个结论？

Answer 1

这题可以用代数方法求出，也就是利用 tan 的和角公式。这个方法已经有人答了（参见本题其他回答），我就不再多写一次。

不过这题还可以用几何方法求出，如果忘了 tan 的和角公式可以试试这边的解法。

（抱歉，我打完才发现底下 α 和 β 弄反了，不过完全不影响答案，因为求的是 α+β）

先画出两个共用一底边的直角三角形，如图：

图中已经令好边长了，我是这样令的：

由 tan 的定义，我们知道 tan(α) = BD/AD = 1/3 以及 tan(β) = CD/AD = 1/2。为了取整数，我令了 AD = 6，因此 BD = 2、CD = 3。

再利用勾股定理求出 AB = 2√10、AC = 3√5。

再来我们需要利用三角形的两个面积公式来解出 α+β 的度数。

三角形的面积公式除了「1/2 × 底 × 高」以外，还有这个：
「1/2 × 两边长的积 × 此二边夹角的 sin 值」

因此，由三角形 ABC 的面积，我们可以得到下列等式：

1/2 × BC × AD = 1/2 × AB × AC × sin(α+β)，也就是：

1/2 × (2+3) × 6 = 1/2 × 2√10 × 3√5 × sin(α+β)

化简，得 sin(α+β) = 1/√2，因此 α+β 为 45 度角，完毕。

Answer 2

因为 tan α=1/2，tanβ=1/3，
所以 tan(α+β)
=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
=[(1/2)+(1/3)]/[1-(1/2)x(1/3)]
=(5/6)/(5/6)
=1，
所以 α+β=45度。

Answer 3