Question

求无穷级数的和函数 ∑ n从1到正无穷 n^2x^n

Answer 1

收敛域很明显是(-1,1).
先求∑nx^n的和函数,∑nx^n=x∑nx^(n-1)=x(∑x^n)'=x(x/(1-x))'=x/(1-x)^2.
逐项求导,得∑n^2x^(n-1)=(1+x)/(1-x)^3.
所以,∑n^2x^n=x∑n^2x^(n-1)=x(1+x)/(1-x)^3.