Question

sin(lnx)的不定积分是什么?

Answer 1

sin(lnx)的不定积分是x[sin(lnx)-cos(lnx)]/2 +C。

令lnx=u，x=e^u

∫sin(lnx)dx

=∫sinud(e^u)

=(e^u)sinu-∫(e^u)d(sinu)

=(e^u)sinu-∫(e^u)cosudu

=e^u*sinu-∫cosud(e^u)

=(e^u)sinu-[(e^u)cosu+∫sinud(e^u)]

原式

=(e^u)(sinu-cosu)/2+C

=x[sin(lnx)-cos(lnx)]/2 +C

不定积分的意义：

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)。

即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数，那么f(x)就有无限多个原函数。

如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示