Question

为什么矩阵相似不一定合同？

Answer 1

因为矩阵相似有可能正交化之后特征向量改变,也就是说进行变换的目标矩阵改变了,也就不合同， 所以这种矩阵相似不一定合同。因为实对称矩阵可以对角化，存在正交单位阵,而这个正交单位阵也可以用于合同变换。或者利用特征值和正惯性指数,实对称矩阵相似则特征值相同,合同则正惯性指数相同, 因此正交相似可得合同。相似与合同都是乘满秩矩阵,因此相似与合同变换都不改变秩,都等价。

判断两个矩阵是否相似的辅助方法： 

（1）判断特征值是否相等。

（2）判断行列式是否相等。

（3）判断迹是否相等。

（4）判断秩是否相等。

以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。