Question

大学数学，线性代数！急！设二次型 f(x1,x2)= 2x1^2 -4x1x2+5x2^2，求正交变换 x=py 将二次型化为标准形

Answer 1

【解答】 （计算过程略）
1、求二次型矩阵A的特征值，解特征方程|λE-A|=0
解得特征值λ1=1，λ2=6
2、当λ=1时，求特征向量为α1=（2，1）T
当λ=6时，求特征向量为α2=（-1，2）T
3、由于是实对称矩阵，所以不同特征值的特征向量已经正交，所以只需单位化
β1=(2/√5，1/√5)T，β2=（-1/√5，2/√5)T
4、那么令P=（β1，β2）经正交变换x=Py，二次型化为标准型
f(x1，x2)=xTAx=yTBy=y1²+6y2²

【评注】
二次型正交变换化为标准型步骤为：
1、写出二次型矩阵A
2、求矩阵A的特征值
3、求矩阵A的特征向量
4、改造特征向量(单位化，Schmidt正交化)β1，β2，...
5、构造正交矩阵P=（β1，β2，...，βn)
则经过坐标换x=Py，得
xTAx=yTBy=λ1y1²+λ2y2²+...+λnyn²

【注意】
特征值的顺序与正交矩阵P中对应的特征向量的顺序是一致的。

newmanhero 2015年4月10日20:31:13

希望对你有所帮助，望采纳。