Question

已知数列{an}的首项a1=1,且a(n+1)=2an+1

已知数列{an}的首项a1=1,且a(n+1)=2an+1
证明﹛an﹢1﹜为等比数列
求数列﹛Nan﹜的前n项和Tn

求详细过程，粘贴复制的就不要了
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Answer 1

由a(n+1)=2an+1得a(n+1)+1=2(an+1)，

所以{an﹢1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列。

故an+1=2^n，即an=2^n-1，n*an=n*2^n-n，
所以，Tn=1*2+2*2^2+3*2^3+…+n*2^n-(1+2+3+…+n)。
设Sn=1*2+2*2^2+3*2^3+…+n*2^n，(1)
则2Sn= 1*2^2+2*2^3+…+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)，(2)
(1)-(2)，得
-Sn=2+2^2+2^3+…+2^n-n*2^(n+1)=2^(n+1)-2-n*2^(n+1)，
即Sn=(n-1)*2^(n+1)+2，
又1+2+3+…+n=n(n+1)/2，
所以，Tn=(n-1)*2^(n+1)+2-n(n+1)/2。

Answer 2

已知数列{an}的首项a1=1,且a(n+1)=2an+1
所以a(n+1)+1=2(an+1)
所以[a(n+1)+1]/(an+1)=2
所以数列{an+1}是以首项为a1+1=2，公比为2的等比数列
所以且有an+1=2*2^(n-1)=2^n
所以an=2^n-1
所以可令bn=nan=n(2^n-1)=n2^n-n
所以
Tn=b1+b2+……+bn=1*2^1-1+2*2^2-2+……+n*2^n-n=(1*2^1+2*2^2+……+n*2^n)-(1+2+……+n)
令Sn=1*2^1+2*2^2+……+n*2^n
则2Sn=1*2^2+2*2^3+……+n*2^(n+1)
则两式相减得Sn=-2+2^2+……+2^n+n*2^(n+1)
则Sn=-2+2^2(1-2^(n-1))/(1-2)+n*2^(n+1)
则Sn=-2-4+(n+1)2^(n+1)=(n+1)2^(n+1)-6
则Tn=Sn-n(n+1)/2=(n+1)2^(n+1)-n(n+1)/2-6
不懂可以追问，谢谢！

Answer 3