Question

充要条件的定义和使用

Answer 1

参考资料里还有很多例子
这样你会对这个概念理解的清楚
要不然这个抽象的条件很容易让人混淆
1.对充要条件的理解
对于命题“若p则q”，即p是条件，q为结论.
(1)如果已知pq，我们就说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
例如，“若x=y,x2=y2”是一个真命题，可写成
x=yx2=y2
“x=y”是“x2=y2”的充分条件，
“x2=y2”是“x=y”的必要条件.
(2)如果既有pq，又有qp，就记作
pq.
这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件.
例如，命题p：x+2是无理数，
命题q：x是无理数.
由于“x+2是无理数”“x是无理数”，所以p是q的充要条件.
2.从逻辑推理关系上看
充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的下列关系：
①若pq，但qp，则p是q的充分但不必要条件；
②若qp，但pq，则p是q的必要但不充分条件；
③若pq，但qp，则p是q的充要条件；
④若pq，且┒p┒q，则p是q的充要条件；
⑤若pp，且qp，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.
3.从集合与集合之间关系上看
若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则
①AB，则p是q的充分条件；
②若AB，则p是q的必要条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件；
④若AB，且AB，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.
从集合的观点来判断充要条件的思考方法，可以进一步加深对充要条件的理解.
4.应用充分条件，必要条件，充要条件时须注意的问题.
(1)充分而不必要条件，必要而不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件，反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要注意以下几点：
①确定条件是什么，结论是什么；
②尝试从条件推结论，结论推条件；
③确立条件是结论的什么条件；
④要证明命题的条件是主要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性.
(2)对于充要条件，要熟悉它的同义词语.
在解题时常常遇到与充要条件同义的词语，如“当且仅当”“必须且只须”“等价于”“……反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言，对理解和把握数学知识是十分重要的.