Question

在光滑的水平桌面上(物体与桌面无摩擦）固定一个半径为r的薄圆筒，质量为m的物体在筒内以初速率V0沿

在光滑的水平桌面上(物体与桌面无摩擦）固定一个半径为r的薄圆筒，质量为m的物体在筒内以初速率V0沿筒的内壁逆时针方向运动，物体与筒内壁接触处有摩擦力，其摩擦系数为μ。求：（1）物体速率从V0减小到V0/3所需的时间？（2）t时刻物体的切向加速度？

Answer 1

分析：物体在竖直方向受到重力、桌面的支持力，水平方向受到圆筒的弹力N（指向圆心）、滑动摩擦力 f 。
　　由题意可知，重力和桌面的支持力的合力为0，弹力N物体做变速圆周运动的法向力，滑动摩擦力 f 是切向力。
　　设在 t 时刻，物体速率是 V ，那么有
弹力大小　N＝m * V^2 / r 　　（法向）
摩擦力大小　f＝μ N＝m * a切　　（切向，a切　是切向加速度）
　　在切向上，　a切＝dV / dt　（这式中V是速率）
所以　－μ * m * V^2 / r＝m * dV / dt　　（切向力与速度方向相反）
即　dt＝－(r / μ ) * dV / V^2
　　（1）若设物体速率从V0减小到V0/3所需的时间是 T ，那么有

T＝－∫ (r / μ ) * dV / V^2　 V的积分区间从 V0 到 (V0 / 3)　
＝r / ( μ * V )
将V的积分区间从 V0 到 (V0 / 3)　代入上式，得所求时间是　T＝2 r / ( μ* V0)
　　（2）由前面分析中　dt＝－(r / μ ) * dV / V^2　，得
t＝[ r / ( μ * V ) ]＋C　　　C是积分常数
由初始条件：t＝0时，V＝V0　得　C＝－ r / ( μ * V0 )
即　t＝( r / μ) * [ ( 1 / V)－(1 / V0 ) ]
V＝r * V0 /（μ * V0 * t＋r）
所以在 t 时刻的切向加速度是
a切＝μ N / m＝μ * V^2 / r＝μ * r * V0^2 / ( μ * V0 * t＋r )^2

Answer 2