Question

在三角形ABC中，角BAC=120°AB=2,AC=1,D是BC边上一点且 DC=2BD,求向量AD乘以向量BC的值

Answer 1

由余弦定理：
a^2 = b^2+ c^2 -2*bc*cos(A);

|BC|^2 = 2^2 + 1^2 -2*2*1*cos(120) = 7;
|BC| = sqrt(7);
|DC| = 2|BD|, |DC| = 2*sqrt(7)/3, |BD| = sqrt(7)/3;

考虑三角形ABD;
cos(角ABC) = (|AB|^2+|BC|^2 - |AC|^2)|/(2|AB|*|BC|)
= (4+7-1)/(2*2*sqrt(7))
= 5*sqrt(7)/14;
|AD|^2 = |AB|^2 +|BD|^2 -2*|AB|*|BD|*cos(角ABD)
= 13/9;

cos(角ADC) = (|AD|^2 +|DC|^2 -|AC|^2)/(2*|AD|*|DC|)
= 8*sqrt(91)/91;

由向量点乘法则：
向量AD.向量BC = |AD|*|BC|*cos(向量AD与向量BC的夹角)
= (sqrt(13)/3) * sqrt(7)*(-8*sqrt(91)/91)
= -8/3.

Answer 2

解。以A点位坐标原点，A（0，0），C（1，0）。由题可求出BC=根号7.所以D(-1/3,根号3/3），B（-1,根号 3/3）
向量AD=（-1/3,根号3/3)，
向量BC=（2，-根号3）。向量AD乘以向量BC=-5/3.

Answer 3

用余弦定理解答，首先,∠BAC=120度,AB=2,AC=1，可以算出BC= 根号7，从而BD=根号7 /3
DC=2倍根号7/3 ,然后再对三角形ABD和三角形ADC分别应用余弦定理，设∠ADC=a ∠ADB=180-a
设AD=m
两个余弦定理列出的式子
4=（根号7/3）^2 +m^2- 2* /3*m*cos∠ADB
1=（2倍根号7/3）^2 +m^2- 2*2 /3*m*cos∠ADC
整理两个式子得到 m*cosa=2 /21
向量AD*BC=AD绝对值*BC绝对值*cosa=2/3

Answer 4

若D在BC上，DC=2BD
则BD=1/3BC
所以AD·BC
=(AB+BD)·BC
=(AB+1/3BC)·BC
=[AB+1/3（AC-AB)]·（AC-AB)
=(2/3AB+1/3AC)·（AC-AB)
=2/3AB·AC-2/3AB�0�5+1/3AC�0�5-1/3AC·AB
=1/3AB·AC-2/3AB�0�5+1/3AC�0�5
=1/3|AB|*|AC|cos120°-2/3|AB|�0�5+1/3|AC|�0�5
=1/3*3*2*（-1/2）-2/3*3�0�5+1/3*2�0�5
=-17/3

Answer 5

解：向量AB*AC=2*1*COS120=-1
向量BC=AC-AB.BD=(1/3)BC
AD=AB+BD=AB+(1/3)(AC-AB)=(1/3)AB+(2/3)AC
AD*BC=(AC-AB)*[(1/3)AB+(2/3)AC]=-1/3