Question

用格林公式求星型线 x=acos^3t,y=asin^3t的面积

用格林公式求星型线 x=acos^3t,y=asin^3t的面积,

Answer 1

用格林公式求星型线 x=acos³t,y=asin³t的面积。
解：S=(1/2)∮xdy-ydx=[0，2π](1/2)∫(3a²cos⁴tsin²t+3a²sin⁴tcos²t)dt
=[0，2π](3a²/2)∫(cos²tsin²t(cos²t+sin²t)dt=[0，2π](3a²/2)∫(cos²tsin²t)dt
=[0，2π](3a²/2)∫[(1/4)(1+cos2t)(1-cos2t)dt=[0，2π](3a²/2)∫[(1/4)(1-cos²2t)dt
=[0，2π](3a²/2)[(1/4)∫dt-(1/8)∫(1+cos4t)dt]
=[0，2π](3a²/2)[(1/8)∫dt-(1/32)∫cos4td(4t)]
=(3a²/2)[t/8-(1/32)sin4t][0，2π]=(3/8)πa²