Question

函数f(x)=x^3+3x(x∈R),若0≤θ≤π/2时,f(m*sinθ)+f(1-m)>0恒成立,则实数m的取值范围_____

不要去复制。。。
∵fx是奇函数
∴f(x)=-f(-x)
f(1-m)=-f(m-1)
又fx是增函数
∴m*sinθ>m-1
接下来怎么算？

Answer 1

那也就是已知m*sinθ>m-1 ，0≤θ≤90恒成立，求m的范围。

sinθ属于[0,1],
所以1〉m(1-sinθ)
m<1/(1-sinθ)
当sinθ属于[0,1]时恒成立。
1/(1-sinθ)属于[1，正无限]
所以m<1

追问

sinθ∈[0,1]我知道
1-sinθ∈[-1,0]也知道
为什么1/(1-sinθ)∈[1,正无穷]呢？

sinθ∈[0,1]我知道
1-sinθ∈[-1,0]也知道
为什么1/(1-sinθ)∈[1,正无穷]呢？

追答

你错了，1-sinθ∈[0,1]，然后换元，令t=1-sinθ，就是个反比例函数。

Answer 2

函数f(x)=x³＋3x是奇函数，且是增函数，又：
f(msinθ)>－f(1－m)
f(msinθ)>f(m－1)对一切0≤θ≤π/2恒成立。
则：msinθ>m－1
m(1－sinθ)<1
(1)若θ=π/2时，此时m(1－1)<1，得：m可以取一切实数；
(2)θ∈[0，π/2)，则：1－sinθ>0
得：
m<1/(1－sinθ)
则：m<[1/(1－sinθ)]的最小值即可，得：m<1【当θ=0时取得最小值】

综合，得：m<1

Answer 3

f'(x)=3x²+3>0，f(x)单调递增.
且f(x)是奇函数.
f(msinθ)>f(m-1)
所以msinθ>m-1.
m(sinθ-1)>-1.
（1）sinθ=1时，m∈R.
（2）sinθ≠1时，sinθ<1.
m<1/(1-sinθ)
当θ∈[0,π/2]时，y=1/(1-sinθ)单调递增.
所以sinθ=0时，y=1/(1-sinθ)取得最小值1.
故m<1.
综上m<1.

追问

为什么（1）sinθ=1时，m∈R.

追答

sinθ=1时，左边无论m取任何实数均等于0，右边是-1，所以m取任何实数均成立.

（1）与(2)要求交集的。

我们也可以利用主元法考虑：
令sinθ=t，则有mt-m+1>0.
这是关于t的一次函数，只需其最小值>0即可。
m>0时，最小值为t=0时取得，1-m>0，m<1.
m=0时，恒成立；
m<0时，最小值为t=1时取得，不等式恒成立。

综上m<1.

追问

你好，既然m=0时恒成立，为什么m不取0？

你好，既然m=0时恒成立，为什么m不取0？

追答

我晕，m<1里面没有m=0??????

Answer 4

m(1-sinθ)<1,
当θ=π/2时，原式为：
0＜1对一切的m都成立，
当θ≠π/2时，
m<1/(1-sinθ);恒成立，恒小就是左边的m比右边的最小值还要小，以下去求右边的最小值，
而右边的最小值为1，所以m≤1,再将m≤1与m可取一切实数求交集得：
m≤1