Question

y'-2xy/(1+x^2)=1+x^2求微分方程的通解！

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Answer 1

y' - 2x/(1 + x^2) * y = 1 + x^2
根据微分方程的标准方程式的形式，这里
P(x) = - 2x/(1 + x^2)
Q(x) = 1 + x^2
所以可以直接运用常数变易法
积分因子μ = e^{∫ - 2x/(1 + x^2) dx} = e^{- ln(1 + x^2)} = 1/(1 + x^2)
原方程两边乘上这个积分因子
y'/(1 + x^2) - 2xy/(1 + x^2)^2 = 1，于是方程左边是某个函数的微分
[y/(1 + x^2)]' = 1，两边进行不定积分
y/(1 + x^2) = x + C
y = (C + x)(1 + x^2)，这个便是原方程的通解了，C是任意常数项

Answer 2

化为：
[(1+x²)y'-2xy]/(1+x²)²=1
[y/(1+x²)]'=1
积分得：
y/(1+x²)=x+C
得y=(1+x²)(x+C)

追问

能用公式做吗

追答

一阶微分方程，可以用公式做的。
不过根据这题的特点，这样做更简洁。

追问

我就是公式做发现答案做错的，（1+x^2）^2的积分是什么？

追答

用公式法：
∫P(x)dx=∫-2xdx/(1+x²)=-∫d(x²)/(1+x²)=-ln(1+x²)
∫Q(x)e^(-ln(1+x²))dx=∫dx=x+C
通解为y=e^ln(1+x²)(x+C)=(1+x²)(x+C)