Question

已知函数f(x)=2/3x^3-2x^2+(2-a)x+1,其中a属于R,求f（x）在区间[2，3]上的最大值和最小值

Answer 1

f'(x)=2x²-4x+2-a
Δx=16-8(2-a)=8a
(1),如果a≤0,抛物线开口向上，所以f '(x)≥0恒成立，
函数f(x)单调增，
f(max)=f(3)=18-18+3-a=3-a
f(min)=f(2)=16/3-8+3-a=1/3-a
(2)
如果a>0,
f(2)=1/3-a
f(3)=3-a
在任何情况下，f(3)>f(2)，导函数一根小于1，一根大于1
i) 如果导函数的大根:x2<2,<=>f '(x)=2-a>0,即0<a<2,则导函数在【2，3】上恒正
则原函数在【2，3】上单调增，同上，
f(max)=3-a
f(min)=1/3-a
ii) 如果大根x2,介于2，3之间即：2≤x2<3;
f '(2)f‘（3）≤0，（2-a)(8-a)≤0,即：2≤a<8,
最大值锁定为f(3)=3-a
最小值，是f(x)的极小值（麻烦就大了）
┌思路：先从导函数求出大根x2,再计算f(x2）,把原f(x)按（x-1)展开减少计算量┘
令f'(x)=0,即：2x²-4x+2-a=0==>x2=[1+(√2a/2]
f(min)=f(1+(√2a/2)
f(x)=(2/3)x³-2x²+(2-a)x+1
=(2/3)[(x-1)+1]³-2[(x-1)+1]²+(2-a)[(x-1)+1]+1
=(2/3)[1+3(x-1)+3(x-1)²+(x-1)³]-2[(x-1)²+2(x-1)+1]+(2-a)[(x-1)+1]+1,按降幂合并同类项得：
=(2/3)(x-1)³+(2-2)(x-1)²+(2-4+2-a)(x-1)+(2/3-2+2-a+1)
=(2/3)(x-1)³-a(x-1)+(5/3-a)
f(x)=(2/3)(x-1)³-a(x-1)+(5/3-a)
f(1+(√2a/2)=(2/3)(1+(√2a/2-1)³-a(1+(√2a/2-1)+(5/3-a)
=√(2/6)a³-(√2/2)a²-a+5/3
iii) 如果大根x2>3,即a≥8时，导函数在【2，3】上恒为负值，原函数单调减
f(max)=1/3-a
f(min)=3-a
终于做完了！
没有被采纳这亏死了；

Answer 2

先证明函数的单调性 再带入

追问

怎么证？怎么讨论a

追答

设x1大于x2，带入后看f（x1）是不是大于或小于f（x2），如果是的话，就是单调函数，直接把2，3带入