Question

如图8在直角梯形ABCD中,AD‖BC,AB⊥AD,BC=CD,BE⊥CD,垂足为E，点F在BD上，连接AF，EF

（1）求证：DA=DE；
（2）如果AF‖CD，求证：四边形ADEF是菱形

Answer 1

1. 因为AD‖BC 所以 角ADB=角DBC

   又BC=CD 所以 角DBC=角BDC

   角DAB=角DEC 角ADB=角BDC DB=DB

   三角形ADB全等三角形DEB

   所以 AD=DE

2. 连EF

   AF‖CD 所以角BDC=角DFA

   又角ADB=角BDC   所以 角ADB=角AFD 所以三角形ADF为等腰三角形 AD=AF

   所以AF=AD=DE

   又AF‖CD

   所以 四边形ADEF是菱形

Answer 2

解答：
1、‍∵CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD，
而AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠EDB，
而∠BAD=∠BED=90°，DB=DB，
∴△ADB≌△EDB﹙AAS﹚
∴AD=ED；
2、由1、结论得：
AD=ED，∠ADF=∠EDF，DF=DF
∴△ADF≌△EDF﹙SAS﹚
∴FA=FE，
又∵AF∥DE，
∴∠AFD=∠EDF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF，
∴AD=DE=AF=EF，
∴四边形ADEF是菱形。‍