Question

高等代数理论基础11：多元多项式

Answer 1

定义：形式为 的式子称为一个单项式

其中, , 是n个文字,

称为单项式的次数

定义：若两个单项式中相同文字的幂全一样则称它们为同类项

定义：一些单项式的和 称为n元多项式,简称多项式

多项式的次数：系数不为零的单项式的最高次数称为该多项式的次数

每一类单项式都一一对应一个n元数组 ,其中

单项式的先后顺序可以利用n元数组的先后顺序确定

对于两个n元数组 ,

若 中第一个不为零的数为正

即有 ,使得

则称n元数组 先于n元数组

并记作

注：

1.对于任意两个n元数组 ,

以下三种关系中有且仅有一种成立

2.关系" "有传递性,即

若

则

可利用 证明

定义：按字典排列法写出来的第一个系数不为零的单项式称为多项式的首项

注：

1.首项不一定有最大次数

2.n=1时,字典排列法可归结为以前的降幂排法

定理：当 , 时,乘积 的首项为 的首项与 的首项的乘积

证明：

推论：若 ,则 的首项等于每个 的首项的乘积

推论：若 , ,则

定义：多项式 ,若其中每个单项式都是m次的,则称 为m次齐次多项式

注：两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式,次数等于两个多项式的次数之和

任何一个m次多项式 都可以唯一地表示成

其中 为i次齐次多项式, 称为 的i次齐次成分

注：多元多项式乘积的次数等于因子次数的和

若 为一个l次多项式

则乘积

的k次齐次成分

特别地, 的最高次齐次成分为

设

为数域P中的数

则称

为 在 处的值

定义：所有系数在数域P中的n元多项式的全体称为数域P上的n元多项式环,记作