Question

高等代数问题多项式?

为啥最大公因式为r(x)

Answer 1

域上的多项式环有带余除法，所以有辗转相除法求最大公因式。
如果r(x)≠零多项式，这题r(x)的次数＝1，f(x)与f'(x)的最大公因式＝f'(x)与r(x)的最大公因式。如果f'(x)不被r(x)整除，那么f'(x)被r(x)除后的余式r'(x)次数严格小于r(x)的次数1，也就是r'(x)的次数＝0，是一个非零常数项，那么f'(x)与r(x)的最大公因式＝r(x)与非零常数项r'(x)的最大公因式，一个一次多项式r(x)与非零常数项r'(x)的最大公因式＝1，根据辗转相除法，f(x)与f'(x)的最大公因式＝1，与f(x)有重根矛盾。
所以f'(x)一定被r(x)整除，根据辗转相除法此时，f(x)与f'(x)的最大公因式就是r(x)。

追问

谢谢老师