Question

心形线r=a(1+cosθ)绕极轴旋转一周产生立体的体积是多少？

Answer 1

心形线r=a(1+cosθ)绕极轴旋转一周产生立体的体积是7π^2*a^3/8。

V=∫π(rsinθ)^2*rdθ （积分限从0到π，下同） =π*∫r^3*(sinθ)^2dθ

=πa^3*∫(1+cosθ)^3*(sinθ)^2dθ （令t=θ/2）

=πa^3*∫[2(cost)^2]^3*(2sintcost)^2*2dt(积分限从0到π/2，下同)

=64πa^3*∫(cost)^8*(sint)^2dt

=32π^2*a^3*7/256

=7π^2*a^3/8

心形线：

心脏线在曼德博集合正中间的图形便是一个心脏线。心脏线的英文名称“Cardioid”是 de Castillon 在1741年的《Philosophical Transactions of the Royal Society》发表的；意为“像心脏的”。