Question

(4)递归式求解的三种方法

Answer 1

步骤如下：

比如我们求解，递归式T(n) = 2T(n/2)+n，

利用递归树方法求算法复杂度，其实是提供了一个好的猜测，简单而直观。在递归树中，每一个结点表示一个单一问题的代价，子问题对应某次递归函数调用。我们将树中每层中的代价求和，得到每层代价，然后将所有层的代价求和，得到所有层次的递归调用总代价。

递归树最适合用来生成好的猜测，然后可用代入法来验证猜测是否正确。当使用递归树来生成好的猜测时，常常要忍受一点儿“不精确”，因为关注的是如何寻找解的一个上界。

根据上式我们建立递归式T(n) = 3T(n / 4) + cn^2，建立下列递归树模型

在递归树中，每一个结点都代表一个子代价，每层的代价是该层所有子代价的总和，总问题的代价就是所有层的代价总和。所以，我们利用递归树求解代价，只要知道每一层的代价和层数即可。

这些，都需要直观的找出规律，以上图为例，当递归调用到叶子T(1)时所用到的递归次数就是整棵递归树的深度。我们从图中可以得到第i层的结点的代价为n/(4 ^i)，当n/(4 i)=1即i = log4(n)时，递归到达了叶子，故整棵递归树的深度为log4(n)。总代价是所有层代价的总和，T(n)=cn ^2+3/16*c*n 2+···结果为O(n^2)。计算过程详见算法导论。用到了一些几何级数相关的知识略微放大上界。

注意到递归树并非都是这样：每一层的结点都是相同的结构！我们在构造递归树以及计算代价的时候要特别注意。

例子如下