Question

函数f(x)=ax^3+bx^2+cx点x处取得极小值-4,使其导函数f'(x)>0的x的取值范围是(1,3)求f(x)的解释式

Answer 1

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

f'(x) 是一条抛物线。a > 0 则开口向上，反之，则开口向下。

使导函数f'(x)>0的x的取值范围是(1,3)
所以 抛物线开口向下。a < 0
f'(1) = 0
f'(3) = 0
3a + 2b + c = 0
27a + 6b + c = 0

函数f(x)=ax^3+bx^2+cx点x处取得极小值-4
此时 f(x) = 0
因此 有2种可能，或者是在 x= 1 处，或者是在 x = 3 处

a + b + c = -4
或者
27a + 9b + c = -4

联立出2个三元一次方程组

3a + 2b + c = 0
27a + 6b + c = 0
a + b + c = -4

3a + 2b + c = 0
27a + 6b + c = 0
9a + 3b + c = -4/3

解第一个方程组，推出
a = -1
b = 6
c = -9

而第二个方程组无解

因此
f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x = -x (x-3)^2